Matematik

Sonsuzluğu Anlamak 1: Matematikte ‘Sonsuz’ Kavramı

İnsanoğlunun evrimsel süreç içerisinde gelişimini tamamlamamış bir beyne sahip olması pek çok yönden büyük sıkıntılara neden olmuştur ve günümüzde de hala etkileri görülmektedir. Geçmişten günümüze kadar süregelen bu sıkıntılar çoğunlukla algısal olarak karşımıza çıkar. Gerçekten de bunu, beynimizin birtakım olayları, kavramları veya doğal etkenleri (örnekler çoğaltılabilir) anlamaktan aciz olduğunun evrimsel bakış açısının öne sürdüğü üzere basit bir delili mahiyetinde idrak edebiliriz. Elbette ki bu algısal problemlerin, evrimsel süreç içerisindeki birtakım dönemlerde farklılıklar göstermiş olduğunu pekâlâ düşünebiliriz. 4 milyon yılı aşkın bir süre önce varolan ilk ilkel insansı (homonid) atalarımızdan, 130 bin yıl öncesinde dünyanın yeşil çayırları üzerinde görülmeye başlayan Homo sapiens’in ve dahi bunlar arasında görülen çeşitli türlerin beyinlerinin hacimsel büyüklükleri ve gelişmişlik kapasiteleri göz önünde tutulursa, algılarının da farklılık göstermesi gayet tabiidir. Buna binaen, 45 bin yıllık maziye sahip Modern İnsan’ın (Homo sapiens sapiens) da, algısal olarak kavramakta zorlandığı şeyler mevcuttur.

Peki, algılamakta bu kadar zorlandığımız şeyler nelerdir?

Soruya yanıt olarak birçok örnek gösterilebilir; Belirsizlik İlkesi, atomaltı parçacık dünyasında elektronun garip davranışı, uzay, zaman, sonsuzluk vb. Ancak biz bu makalemizde sonsuzluk kavramını ele alacağız. Öte yandan şunu da belirtmekte fayda var sanırım, makalemizde felsefi yaklaşımlardan ve teolojik anlamda ileri sürülen‘sonsuzluk- ebediyet’ kavramlarının tam aksine, matematik gibi temelleri teorik düzeyde ele alınan ve çeşitli önermeler ve gerçekliklerle harmanlanmış doğa bilimini esas alacağız. Felsefi-teolojik yaklaşımlar ile matematiksel olarak sonsuzluk kavramının ortak bir özelliğini merak eden okur için bunun sadece soyut bir kavram olduğunu belirtmek yeterli olacaktır. Zira bakış açıları hususunda birçok farklılıklar olmasına rağmen bu düşünce sistemlerinin tek ortak noktası soyutlukla sınırlıdır.

Sonsuzluk kavramının tarihçesi Antik Yunan’a kadar uzanmaktadır. Lemniscate kelimesinden gelen sonsuzluk kavramı, dönemin doğa filozofları tarafından sıkça ele alınan bir konuydu. Fakat onların da ele aldıkları sonsuzluk, metafiziksel anlamdaydı çünkü bu kavramın tanımlanması ve anlaşılması bir hayli güçtü. Nitekim Antik Çağ filozoflarının bu kavramın eksikliğini sezmiş olmaları önemli sayılabilecek bir gelişme olarak görülmelidir ki öyledir lakin bunu zihinsel ve teorik açıdan bir kesinlik belirten bilgiye dönüştüremedikleri görülmektedir. Örneğin Anaksimandros sonsuzluğu kendi felsefesinin merkezine almıştır. Atomcu öğretiyi benimseyen Leukippos, atomların bölünemez ve sonsuz sayıda olduklarını dile getirmiştir. Yunan matematikçi Arkhimedes geometrideki bölünemezlikleri başarılı bir şekilde ele almış olmasına rağmen sonsuz büyük ve sonsuz küçük ile ne kastedilmek istendiğini mantıksal bir temele oturtamamıştır.[1] Diğer taraftan Aristoteles gibi kimi doğa filozofları da cisimlerin belirli şekilleri olduğundan dolayı sınırlanmış olmaları gerektiğini ve bu nedene göre de sonsuz olamayacağını, varolan her şeyin varolma prensibine göre bir sonlulukla sınırlanması gerektiğini savunmuştur. Çünkü varolan her şey bir sınıra dayanır bundan dolayı cisimleşen tüm şeyler için bir sonsuzluktan bahsedilemez. Bunun bizdeki en büyük temsilcisi İbn Sina’dır.

antik filozoflar ile ilgili görsel sonucu

Öte yandan metafizikle harmanlanmış felsefi (buraya teolojiyi de ekleyebiliriz) görüşler hiç kuşkusuz ortaya birtakım paradokslar çıkarmıştır. Bunun en meşhuru, bir yerlerden herkesin kulak aşinalığı olan Zenon paradoksudur. Bu paradoksun öne sürdüğü ana fikir hareketin bir yanılgı olduğunu kanıtlamaya çalışmaktır. Hareket halindeki bir nesnenin (Zenon için bu havaya atılan bir oktur) belirlenen noktaya varması için ilk olarak o yolun yarısını alması gerekir. Ama ondan önce de bu yarı mesafenin de yarısını kat etmelidir ve bu böylece sonsuza kadar devam eder. Bu ve buna benzer birkaç paradoksu “Matematikte ‘Sonsuz’ Paradokslar” isimli başka bir makalemizde ele alacağımızdan dolayı şimdilik konumuza kaldığımız yerden devam edelim.

Öncelikle hepimizin matematik derslerinden aşina olduğumuz üzere sonsuzluk kavramı, kelebek veya yatık sekiz olarak da adlandırılan,  sembolü ile gösterilir. İşte günlük manada anlaşılan sonsuz ile bilimsel anlamda anlaşılan sonsuzun arasındaki sıkıntının kaynağı bu semboldür. Ülkemizin önde gelen matematikçilerinden Ali Nesin konu hakkında şunları belirtir:

Asıl suçlu ∞  simgesi. Ortaöğretimde, matematiksel simgeler genellikle nesneler için kullanılır. Boşküme bir nesnedir ve simgesi ’dir örneğin. Oysa ∞ simgesi, bir nesnenin simgesi değildir.

Bu yüzden “n sonsuza gittiğinde” dememek gerekir. Onun yerine, “n durmadan büyüdüğünde, yani her tamsayıyı bir süre sonra aştığında” demek daha doğru olur.[2]

Sonsuzluk, matematik ve fizikte herhangi bir sonu olmayan şeyleri ve sayıları ifade etmekte kullanılan soyut bir kavramdır. Eğer üniversite koridorunda veya kantininde iki kişinin kafa kafaya verip soyut konular üzerinde tartışmaya girdiklerini görürseniz bilin ki, elindeki kâğıda bir şeyler karalayan matematikçi, onu dinleyip düşüncelere dalan kişi ise bir fizikçidir. Çünkü matematikçiler soyut kavramlar üzerinden tekrar soyut şeyler ortaya koymakta ustalaşmışlardır fakat durum fizikçiler açısından tamamen olmasa da büyük ölçüde farklılık gösterir. Bunun nedeni fizikçilerin soyut bir şeyi fiziksel olarak nasıl olur da açıklayabilirim kaygısından kaynaklanır.

Matematikte ‘Sonsuz’  

 sonsuzluk ile ilgili görsel sonucuGünlük hayatımızda bir kişiye ‘sonsuz nedir?’ diye bir soru yöneltecek olursak şayet alacağımız cevap aşağı yukarı şöyledir: Çok uzak olan, ulaşılamaz olan, ta ötede sınırsız olan… Buradaki yanlış bir tanımdır, nedeni ise gayet açık olduğu üzere, yapılan tanımlama da ‘sonsuz’ bir yer belirtir, tıpkı bizim gezip görmek istediğimiz bir şehirmiş gibi. Başka bir tanımlamada ise, çok büyük bir miktar akla gelir, öyle ki bu miktar sayılamayacak kadar büyüktür. Bu cevap ilkine göre daha makul karşılanabilir ancak bu da yanlıştır. Bizim konumuz sonsuzun varlığı ve yokluğundan ziyade tanımıdır. Sonsuzun ne demek olduğunu tanımlamak başka, sonsuzun varlığı veya yokluğunu kanıtlamak başkadır. Yani, kavramın tanımıyla varlığı bambaşka sorunsal çözüm gerektirir. Kavramın var olup olmadığı felsefeyle ilişkilidir (ki biz bu konuya girmeyeceğimizi söyledik). Soyut bir kavramı tanımlamak ise matematiksel bir olgudur. Yukarıda da belirttiğimiz gibi matematikçiler soyut kavramları açıklamada gayet başarılıdırlar. Sonsuzluk kavramı da soyut olduğu için matematikçilerin ona yaklaşımı yine soyuttur.

Öte yandan değinmek istediğim nokta sonsuzu kavramını anlamlandırabilmek için sonlunun ne demek olduğunu bilmemiz gerekir (matematikte sonlu kavramının pek çok tanımı mevcuttur) çünkü beynimiz kavramları zıtlıklarıyla algılar. Buradan yapacağımız basit bir matematiksel tanım şu olur: Sonlu olmayana ‘sonsuz’ denir.

Matematikte “sonsuz” bir sıfattır, bir ad değildir. Nasıl “sonlu” bir sıfatsa, matematikte kullanılan “sonsuz” da bir sıfattır. Sonsuz, sonlunun karşıtıdır. Matematikte sonlu olmayana sonsuz denir.

Adına “sonsuz” denilen matematiksel bir nesne yoktur. Ama sonsuz matematiksel nesneler vardır.

Nasıl “sarı”, “yeşil”, “uzun”, “sıcak” birer sıfatsa, matematikteki “sonsuz” sözcüğü de bir sıfattır.

Matematikte, adı “sonlu” olan bir nesne olmadığı gibi, “sonsuz” diye de bir nesne yoktur.

Yineliyorum: Matematikte, “sonlu” ve “sonsuz” sözcükleri birer sıfattır. Örneğin, “sonlu sayı” terimindeki “sonlu” sözcüğü “sayı” sözcüğünü niteler. Bunun gibi, “sonsuz sayı” terimindeki “sonsuz” sözcüğü “sayı”yı niteler.[3]

Değinmemiz gereken başka bir nokta da matematik derslerinde sıklıkla karşılaştığımız sonsuzluk ile ilgili belirttiğimiz bazı işlemsel sorunsallardır. Örneğin sonsuz eksi sonsuz (∞ – ∞) veya sonsuz bölü sonsuz (∞ / ∞) gibi birtakım yanlış işlemsel terimlerle ifade edilir. Elbette ki bunu öğretmenlerimiz iyi niyetle yaparlar ve onlar açısından matematiksel olarak böyle bir şey olmayacağı ise aşikârdır. Yazdıklarında da açıklamak zorundadırlar fakat sonsuz artı bir sonsuza eşittir  (∞ + 1 = ∞), sonsuz artı sonsuz eşittir sonsuz (∞ + ∞ = ∞) veya beş kere sonsuz eşittir sonsuz (5  ∞ = ∞) yazabilirler. Ancak bunların da eşit olmadığını bilirler. Matematikçilere göre bu ifadelerin en doğru açıklaması sırasıyla şöyledir. İlk ifadenin açıklaması; durmadan büyüyen bir değişkene bir eklersek, elde ettiğimiz değişken de durmadan büyür. Diğer ifadenin açıklaması ise şu şekildedir; iki değişken durmadan büyüyorsa, bu iki değişkenin toplamı da durmadan büyüyordur. Son olarak, durmadan büyüyen bir değişkeni beşle çarparsak, aynı şekilde yine durmadan büyüyen bir değişken elde ederiz.

Matematikçiler için de sonsuzluk ya da sonu olmama fikri hep sorun yaratmıştı. 1, 2, 3, 4… sayı dizisi sonsuzdur, bunu matematik düzeyi ne olursa olsun herkes bilir. Öte yandan aynı şey 2, 4, 6, 8… dizisi için de geçerlidir. Her çift sayıyı kendisinin yarısı kadar olan sıradan bir sayıyla eşlemek mümkün, böylece mantıken düşünüldüğünde çift sayıların toplam sayısı tüm sayıların toplamına eşit olur. (Bu Galileo Paradoksu olarak bilinir, bu konuyu yukarıda bahsettiğimiz diğer makalede ele alacağız.)

Matematiğin sonsuzluk kavramını Alman matematikçi Georg Cantor tanımlamıştır. Onun Kümeler Kuramı’nı ele alarak sonlu bir şeyden sonsuz oluşturma fikri gerçekten takdire şayandır. Cantor, bütün kesirlerin sayılabilir olduğunu ve tam sayılarla sayılabileceğini göstermek için bu türden bire bir ilişkiyi kullandı. Ancak tüm gerçek sayılar (rasyonel ve irrasyonel sayıların tümü) tam sayılarla sayılamazlar; nitekim bunları saymak için kullanılan sistem ne olursa olsun, gerekli hesaplamalar yapıldığında her zaman sonsuz bir sayı dışarıda kalacaktır. Gerçek sayılar daha yüksek bir sonsuzluğu, sonlu ötesi sayıları (sınır üstü sayılar veya Alef sayılar da denir) temsil ederler. Ayrıca şöyle bir durum da vardır ki, bütün gerçek sayılar bir çizgideki noktalara denk düşerler, böylece noktalar da sayılamazlar.

Alman matematikçi Cantor, sonlu ötesi sayıların bilinen tam sayıların sonsuzluğundan daha büyük bir sonsuzlukta sayılı olabileceklerini gösterdi. (Bu teoriye diğer makalemizde tekrardan değinilecektir.)

Makalemize son verirken Galileo Galilei “Doğanın muazzam kitabının dili matematiktir,” demişti. Tıpkı sonsuzluğun dilinin de matematiğin estetik denklemleriyle yazıldığı gibi… Sonsuzluk arzulayan her bireyin bu dili en iyi şekilde öğrenmesi ve konuşması dileğiyle…

Ö. F. KIRMACI (04.02.2018 / Balıkesir)

[1]Kürşat Akbulut & Levent Akgün, Matematik ve Sonsuz, Kazım Karabekir Eğitim Fakültesi Dergisi, Yıl:2005, Sayı:11

[2]Ali Nesin, Matematik ve Sonsuz adlı makalesi. Bkz:

www.matematikdunyasi.org/arsiv/makaleler/sonsuz_matematikvesonsuz.

[3]A.g.m

Reklamlar